Похідна синуса кута дорівнює косинусу того ж кута

Освіта

Дана найпростіша функція тригонометрії у = Sin (х),вона диференційована в кожній своїй точці з усієї області визначення. Необхідно довести, що похідна синуса будь-якого аргументу дорівнює косинусу того ж кута, тобто у '= Cos (х).

похідна синуса

Доказ грунтується на визначенні похідної функції

Задамо х (довільне) в деякій малій околиці Δх конкретної точки х0. Покажемо значення функції в ній і в точці х, щоб знайти приріст заданої функції. Якщо Δх - приріст аргументу, то новий аргумент - це х0+ Δx = х, значення даної функції при заданому значенні аргументу у (х) дорівнює Sin (х0+ Δx), значення функції в конкретній точці у (х0) Теж відомо.

Тепер маємо Δу = Sin (х0+ Δх) -Sin (х0) - отримане приріст функції.

За формулою синуса суми двох неоднакових кутів будемо перетворювати різницю Δу.

Δу = Sin (х0) · Cos (Δх) + Cos (х0) · Sin (Δx) мінус Sin (х0) = (Cos (Δx) -1) · Sin (х0) + Cos (х0) · Sin (Δх).

Виконали перестановку доданків, згрупували перші з третім Sin (х0), Винесли загальний множник - синус - за дужки. Отримали в вираженні різниця Cos (Δх) -1. Залишилося змінити знак перед дужкою і в дужках. Знаючи, чому дорівнює 1-Cos (Δх), зробимо заміну і отримаємо спрощене вираз Δу, яке потім розділимо на Δх.
Δу / Δх матиме вигляд: Cos (х0) · Sin (Δх) / Δх-2 · Sin2(0,5 · Δх) · Sin (х0) / Δх. Це і є відношення приросту функції до допущеному приросту аргументу.

Залишилося знайти межа отриманого нами відносини lim при Δх, що прагне до нуля.

Похідна від синуса

Відомо, що межа Sin (Δх) / Δx дорівнює 1, при цьому умови. А вираз 2 · Sin2(0,5 · Δх) / Δх в отриманому приватному підведемоперетвореннями до твору, який містить в якості множника перший чудовий межа: чисельник і знеменатель дробу розділимо на 2, квадрат синуса замінимо твором. Ось так:
(Sin (0,5 · Δx) / (0,5 · Δx)) · Sin (Δx / 2).
Межа цього виразу при Δх, яка прагне до нуля, буде дорівнює числу нуль (1 помножити на 0). Виходить, що межа відносини Δy / Δх дорівнює Cos (х0) · 1-0, це і є Cos (х0), Вираз, яке не залежить від Δх, що прагне до 0. Звідси випливає висновок: похідна синуса будь-якого кута х дорівнює косинусу х, запишемо так: у '= Cos (х).

Отримана формула занесена в відому таблицю похідних, де зібрані всі елементарні функції

Похідна синуса в квадраті

При вирішенні завдань, де зустрічається похіднасинуса, можна користуватися правилами диференціювання і готовими формулами з таблиці. Наприклад: знайти похідну найпростішої функції у = 3 · Sin (х) -15. Скористаємося елементарними правилами диференціювання, виносу числового множника за знак похідної, і обчислення похідної постійного числа (вона дорівнює нулю). Застосуємо табличне значення похідної синуса кута х, рівне Cos (х). Отримуємо відповідь: y "= 3 · Cos (x) -O. Ця похідна, в свою чергу, теж є елементарною функцією у = З · Cos (х).

Похідна синуса в квадраті від будь-якого аргументу

При обчисленні цього виразу (Sin2(Х)) 'необхідно згадати, як диференціюється складна функція. Отже, у = Sin2(Х) - є ступеневою функцією, так як синус в квадраті. Аргументом її є теж тригонометрическая функція, складний аргумент. Результат в цьому випадку дорівнює добутку, перший множник якого похідна квадрата даного складного аргументу, а другий - похідна від синуса. Ось як виглядає правило диференціювання функції від функції: (u (v (х))) "дорівнює (u (v (х)))" · (v (х)) ". Вираз v (х) - складний аргумент (внутрішня функція ). Якщо дана функція "ігрек дорівнює синусу в квадраті х", то похідна цієї складної функції буде у "= 2 · Sin (х) · Cos (x). У творі перший подвоєний множник - похідна відомої статечної функції, а Cos (х) - похідна синуса, аргументу складної квадратичної функції. Остаточний результат можна перетворити, скориставшись тригонометричної формулою синуса подвійного кута. Відповідь: похідна дорівнює Sin (2 · x). Ця формула легко запам'ятовується, нею часто користуються як табличній.